ζ(2k+1) の漸化式

の漸化式
はリーマンのゼータ関数、自然数、また

\begin{align}
&\xi_k := \frac{(-1)^{k - 1}(2\pi)^{2k}}{(2k)!(2^{2k+1}-1)}\\
\\
&\xi(2k+1) := \frac{1}{\xi_k} \zeta(2k+1)\\
\\
&\theta_k := \frac{2^{2k} - 1}{2^{2k+1} - 1}\\
\\
&s_k := 2^{2k}\log\mathcal{S}_{2k+1}(1/2)
\end{align}

と定義すると、

\begin{align}
\xi(2k+1) = \log 2 - s_k - \sum^{k - 1}_{m = 1}
\left(
\begin{array}
\ 2k \\
2m
\end{array}
\right)
\theta_m \xi(2m + 1)
\end{align}

が成り立つ。ここでとは多重三角関数のことで、

\begin{align}
\mathcal{S}_r(x) &:= e^{\frac{x^{r - 1}}{r - 1}}\prod_{l\in \mathbb{Z}_{\neq 0}}P_r(x/l)^{l^{r - 1}}\\
P_r(x) &:= (1-x)\exp\left\{\sum^{r - 1}_{k = 1}x^k / k\right\}
\end{align}

である。

Lemmas

1

Lemma_1
複素数に対し、

\begin{align}
\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n - 1}}{n^s} = (1 - 2^{1 - s})\zeta(s)
\end{align}

\begin{align}
\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n - 1}}{n^{s}} &= 1 - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \cdots\\
&= \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots\right)\\
& - 2\left(\frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots\right)\\
&= \zeta(s) - 2^{1-s}\zeta(s) = (1 - 2^{1 - s})\zeta(s)
\end{align}

2

Lemma_2

\begin{align}
\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \log 2
\end{align}

リーマンゼータ関数の極はで一位であり、留数は１と知られているのでLemma_1を用いて。もしくは純粋に

\begin{align}
\log (1 + x) = \sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n - 1}}{n}x^n
\end{align}

より求まる。

2.5

Lemma_2.5
なら、

\begin{align}
a &= ba +c \\
&= \frac{c}{1-b}
\end{align}

3

Lemma_3

\begin{align}
\zeta(- k) = -\frac{B_{k+1}}{k+1}
\end{align}

ここではベルヌーイ数。ベルヌーイ数とは、

\begin{align}
\frac{x}{e^x - 1} = \sum^{\infty}_{n=0}\frac{B_n}{n!}x^n
\end{align}

となる数のことで、ならばである。

4

Lemma_4(named: "反復積分に関するコーシーの公式")
実数を起点とする回の不定積分を考える。積分演算子をとし、がで連続であるとき、

\begin{align}
J^n f(x) :&= \int^{x}_{x_0}\int^{t_{n - 1}}_{x_0}\cdots\int^{t_1}_{x_0}f(t_0)dt_0\cdots dt_{n - 1}\\
&= \frac{1}{(n - 1)!}\int^{x}_{x_0}(x - t)^{n - 1}f(t) dt
\end{align}

が成り立つ。

帰納法で示す。のとき明らかに正しい。
のときに成り立てば、

\begin{align}
J^{n+1}f(x) &= \int^{x}_{x_0}J^n f(t)dt\\
&= \int^{x}_{x_0}\frac{1}{(n - 1)!}\int^{t}_{x_0}(t - u)^{n - 1}f(u)dudt\\
&= \frac{1}{(n - 1)!}\int^{x}_{x_0}\int^{x}_{u}(t - u)^{n - 1}f(u)dtdu\\
&= \frac{1}{n!}\int^{x}_{x_0}(x - u)^n f(u)
\end{align}

となり確かに正しい。

5

Lemma_5
\begin{align}
\mathcal{S}_k(x)=\exp\left\{\int^{x}_{0}\pi t^{k - 1}\cot(\pi t)dt\right\}
\end{align}

定義式

\begin{align}
\mathcal{S}_k(x) &:= e^{\frac{x^{k - 1}}{k - 1}}\prod_{l\in \mathbb{Z}_{\neq 0}}P_k(x/l)^{l^{k - 1}}\\
P_k(x) &:= (1-x)\exp\left\{\sum^{r - 1}_{k = 1}x^k / k\right\}
\end{align}

を対数微分すると、右辺はとなる。一方、三角関数の因数分解（っぽいやつ）

\begin{align}
\sin(\pi x) = \pi x\prod_{l\in\mathbb N}\left(1-\frac{x^2}{l^2}\right)
\end{align}

を対数微分すると、

\begin{align}
\pi \cot(\pi x) = \sum_{l\in \mathbb Z}\frac{1}{x - l}
\end{align}

となる。であるから、

\begin{align}
\mathcal{S}_k(x) = \exp\left\{\int^{x}_{0}\pi t^{k - 1}\cot(\pi t)dt\right\}
\end{align}

である。

Proof

は、それが使われている式と上の式の間で、Lemma_nを使ったことを意味する。

\begin{align}
\zeta(2k+1):&=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^{2k+1}}\\
&=
\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^n}{n^{2k+1}}\cos(\pi n)\\
&=
\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^n}{n^{2k+1}}\sum^{\infty}_{m=0}\frac{(-1)^m}{(2m)!}\pi^{2m}n^{2m}\\
&=
-\sum^{\infty}_{m=0}\frac{(-1)^m}{(2m)!}\pi^{2m}\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n - 1}}{n^{2k+1-2m}}\\
&\stackrel{1}{=}
- \sum^{\infty}_{m=0}\frac{(-1)^m}{(2m)!}\pi^{2m}(1-2^{2m - 2k})\zeta(2k + 1 - 2m)\\
&=
-\left(\sum_{0≤m\lt k} + \sum_{m = k} + \sum_{m \gt k}\right)\text{中身} \\
&\stackrel{2}{=}
-(1-2^{-2k})\zeta(2k+1)-\sum^{k - 1}_{m=1}\frac{(-1)^{k - m}}{(2k - 2m)!}\pi^{2k - 2m}(1 - 2^{-2m})\zeta(2m+1)\\
& \ \ \ \ - \frac{(-1)^k}{(2k)!}\pi^{2k}\log 2\\
& \ \ \ \ - \sum^{\infty}_{m=1}\frac{(-1)^{m + k}}{(2m + 2k)!}\pi^{2m + 2k}(1 - 2^{2m})\zeta(1 - 2m)\\
&\stackrel{2.5,\ 3}{=}
\xi_k
\left \{
\begin{array}
\ \log 2 \\
- \sum^{k - 1}_{m=0}
\left(
\begin{array}
\ 2k\\
2m
\end{array}
\right)
\theta_m \xi(2m + 1)\\
- (2k)!\sum^{\infty}_{m = 1}\frac{(-1)^{m - 1}B_{2m}}{2m(2m + 2k)!}( (2\pi)^{2m} - \pi^{2m})
\end{array}
\right\}
\end{align}

\begin{align}
&\xi_k := \frac{(-1)^{k - 1}(2\pi)^{2k}}{(2k)!(2^{2k+1}-1)}\\
\\
&\xi(2k+1) := \frac{1}{\xi_k} \zeta(2k+1)\\
\\
&\theta_k := \frac{2^{2k} - 1}{2^{2k+1} - 1}
\end{align}

では次に、最後の行の、最後の項を母関数の特殊値として表現する。

\begin{align}
- (2k)!\sum^{\infty}_{m = 1}\frac{(-1)^{m - 1}B_{2m}}{2m(2m + 2k)!}( (2\pi)^{2m} - \pi^{2m})=-(2k)!(f(2\pi) - f(\pi) )
\end{align}

つまり、

\begin{align}
f(x) := \sum^{\infty}_{m = 1}\frac{(-1)^{m - 1}B_{2m}}{2m(2m + 2k)!}x^{2m}
\end{align}

である。これを微分してをかけたものをとおくと、

\begin{align}
g(x):= x^{2k+1}f^{\prime}(x) = \sum^{\infty}_{m = 1}\frac{(-1)^{m - 1}B_{2m}}{(2m+2k)!}x^{2m+2k}
\end{align}

次に、これを回微分したものをとすると、

\begin{align}
h(x) := g(2k)(x) = \sum^{\infty}_{m=1}\frac{(-1)^{m - 1}B_{2m}}{(2m)!}x^{2m}
\end{align}

なので、ベルヌーイ数の定義

\begin{align}
\frac{x}{e^x - 1} &= \sum^{\infty}_{m = 0}\frac{B_m}{m!}x^m\\
&= 1 - \frac{1}{2}x + \sum^{\infty}_{m = 1}\frac{B_{2m}}{(2m)!}x^{2m}
\end{align}

より、

\begin{align}
h(x) &= 1 - \frac{1}{2}ix - \frac{ix}{e^{ix} - 1}\\
&= 1 - \frac{x}{2}\cot\left(\frac{x}{2}\right)
\end{align}

よって、Lemma_4(named: "反復積分に関するコーシーの公式")（なので積分の起点は０）より、

\begin{align}
g(x) &= \int\cdots\int \left(1 - \frac{x}{2}\cot\left(\frac{x}{2}\right)\right)d^{2k}x\\
&= \frac{x^{2k}}{(2k)!} - \int\cdots\int \frac{x}{2}\cot\left(\frac{x}{2}\right) d^{2k}x\\
&= \frac{1}{(2k)!} \left\{ x^{2k} - 2k\int^{x}_{0} (x - t)^{2k - 1}\frac{t}{2}\cot\left(\frac{t}{2}\right)dt \right\}\\
&= \frac{x^{2k}}{(2k)!}\left\{1 - 2kx\int^{1}_{0}(1 - t)^{2k - 1}\frac{t}{2}\cot\left(\frac{xt}{2}\right)dt\right\}
\end{align}

で、

\begin{align}
f(x) &= \int \frac{1}{x^{2k + 1}}g(x)dx\\
&= \frac{1}{(2k)!}\left\{\log x - 2k \int^{1}_{0}(1-t)^{2k - 1}\log \sin\left(\frac{xt}{2}\right)dt\right\}
\end{align}

そして、元々考えていたとは、つまりより、

\begin{align}
\ -(2k)!(f(2\pi)-f(\pi) ) &= -\log 2 + 2k\int^{1}_{0}(1 - t)^{2k - 1}\left(\log 2 + \log\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)\right)dt\\
&= 2k\int^{1}_{0}(1 - t)^{2k - 1}\log\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)dt\\
&= - \int^{1}_{0}\frac{\pi}{2}(1 - t)^{2k}\tan(\pi t / 2)dt\\
&= -\int^{1}_{0}\frac{\pi}{2}t^{2k}\cot(\pi t/2)dt\\
&= -2^{2k}\int^{1/2}_{0}\pi t^{2k}\cot(\pi t)dt\\
&\stackrel{5}{=}-2^{2k}\log\mathcal{S}_{2k+1}(1/2)\\
&= -s_k
\end{align}

となる。上記をまとめると、

\begin{align}
\zeta(2k+1) = \xi_k\left(\log 2 - s_k - \sum^{k - 1}_{m = 1}
\left(
\begin{array}
\ 2k\\
2m
\end{array}
\right)
\theta_m \xi(2m + 1)
\right)
\end{align}

なので、

\begin{align}
\xi(2k+1) = \log 2 - s_k - \sum^{k - 1}_{m = 1} {}_{2k} C _{2m} \theta_m \xi(2k+1)
\end{align}

□